9711. Два противоположных ребра тетраэдра равны a
, два других противоположных ребра равны b
, два оставшихся равны c
. Найдите расстояние между центрами сфер, одна из которых вписана в тетраэдр, а вторая касается одной из граней и продолжений остальных.
Ответ. \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}
.
Указание. Рассмотрите описанный параллелепипед данного тетраэдра (см. задачи 7041, 7267, 7280, 7338).
Решение. Рассмотрим описанный параллелепипед AKBNMCLD
(AM\parallel KC\parallel BL\parallel ND
) тетраэдра ABCD
(см. задачу 7041), в котором AB=CD=a
, AC=BD=b
и BC=AD=c
. Этот тетраэдр равногранный, значит, параллелепипед AKBNMCLD
прямоугольный (см. задачу 7267).
Центр сферы, вписанной в равногранный тетраэдр совпадает с центром O
описанной сферы тетраэдра (см. задачу 7280), т. е. с центром параллелепипеда AKBNMCLD
. Центр сферы, касающейся грани BCD
и продолжений остальных граней, — точка L
(см. задачу 7338). Значит, искомое расстояние равно OL=\frac{1}{2}AL
.
Обозначим AK=x
, AN=y
, AM=z
. Тогда
\syst{x^{2}+y^{2}=a^{2}\\x^{2}+z^{2}=b^{2}\\y^{2}+z^{2}=c^{2},\\}
откуда находим, что
AL^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})
(квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений). Следовательно,
OL=\frac{1}{2}AL=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}.
Осталось заметить, что ответ один и тот же для любой вневписанной сферы данного тетраэдра.