10232. В треугольнике ABC
проведены высоты AD
, BE
и CF
. Точки I_{a}
, I_{b}
и I_{c}
— центры вневписанных окружностей, противоположных вершинам A
, B
и C
соответственно. Докажите, что прямые I_{a}D
, I_{b}E
и I_{c}F
пересекаются в точке, лежащей на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
.
Решение. Пусть I
и r
— соответственно центр и радиус вписанной окружности треугольника ABC
, O
и R
— соответственно центр и радиус описанной окружности этого треугольника, а O'
и R'
— соответственно центр и радиус описанной окружности треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
.
Отрезки I_{a}A
, I_{b}B
, I_{c}C
— высоты треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
, I
— его ортоцентр, а описанная окружность треугольника ABC
есть окружность девяти точек треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачи 4769 и 174). Значит, точки I
, O
и O'
лежат на одной прямой (O
— середина отрезка IO'
), и R'=2R
.
Поскольку BC\perp O'I_{a}
(см. задачу 480), а AD\perp BC
, то AD\parallel O'I_{a}
.
Пусть P
— точка пересечения прямых I_{a}D
и IO
, а прямая, проведённая через точку I
параллельно O'I_{a}
, пересекает I_{a}B
в точке I'
. Тогда \frac{PI}{PO'}=\frac{II'}{O'I_{a}}
.
С другой стороны, если X
и Y
— проекции точек I
и I_{a}
на прямую AB
соответственно, Z
— проекция точки I
на прямую I_{a}Y
, S
— площадь треугольника ABC
, p
— его полупериметр, а BC=a
, то
\frac{II'}{AD}=\frac{II_{a}}{AI_{a}}=\frac{I_{a}Z}{I_{a}Y}=\frac{I_{a}Y-ZY}{I_{a}Y}=\frac{I_{a}Y-IX}{I_{a}Y}=\frac{r_{1}-r}{r_{1}}=
=1-\frac{r}{r_{1}}=1-\frac{\frac{S}{p}}{\frac{S}{p-a}}=1-\frac{p-a}{p}=1-1+\frac{a}{p}=\frac{a}{p}
(см. задачи 452 и 392). Тогда
II'=\frac{AD\cdot a}{p}=\frac{2S}{p}=2r,
поэтому,
\frac{PI}{PO'}=\frac{II'}{O'I_{a}}=\frac{2r}{R}.
Если в приведённом рассуждении заменить I_{a}
на I_{b}
(или на I_{c}
), получим тот же результат. Следовательно, прямые I_{a}D
, I_{b}E
и I_{c}F
пересекаются в точке P
, лежащей на прямой OI
. Что и требовалось доказать.