10246. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
отмечены середины противоположных сторон BC
и AD
— точки M
и N
соответственно. Диагональ AC
проходит через середину отрезка MN
. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
, если площадь треугольника ABC
равна S
.
Ответ. 2S
.
Решение. Первый способ. Диагональ MN
четырёхугольника AMCN
делится его диагональю AC
пополам (рис. 1), значит, диагональ AC
делит пополам площадь четырёхугольника AMCN
(см. задачу 3157). Следовательно, S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ABC}=S
Медиана делит площадь треугольника пополам (см. задачу 3001), поэтому
S=S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle AMC}=2S_{\triangle ANC}=S_{\triangle ADC}.
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=S+S=2S.
Второй способ. Пусть K
и L
— середины сторон AB
и CD
(рис. 2). Тогда KMLN
— параллелограмм (см. задачу 1204), поэтому отрезок KL
содержит середину O
отрезка MN
. Стороны треугольника KOM
— средние линии треугольника ABC
, поэтому (см. задачу 1883)
S_{\triangle KOM}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}S.
Аналогично, S_{\triangle LON}=\frac{1}{4}S_{\triangle ADC}
, а так как треугольники KOM
и LON
равны, то
S_{\triangle ADC}=4S_{\triangle LON}=4S_{\triangle KPM}=S_{\triangle ABC}=S.
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=S+S=2S.
Третий способ. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
середины M
и N
противолежащих сторон и середины P
и Q
диагоналей соответственно AC
и BD
являются вершинами параллелограмма (см. задачу 1234). Следовательно, середина O
отрезка MN
является также и серединой отрезка PQ
.
Точка O
лежит на диагонали AC
, поэтому середина Q
диагонали BD
также лежит на AC
(рис. 3). Тогда
S_{\triangle ADQ}=S_{\triangle ABQ}~\mbox{и}~S_{\triangle CDQ}=S_{\triangle CBQ}.
Следовательно,
S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ABC}=S,~S_{ABCD}=2S.
Примечание. Отметим, что KMLN
— это параллелограмм Вариньона, площадь которого равна половине площади ABCD
(см. задачу 3019).