10385. На медианах треугольника как на диаметрах построены три окружности. Известно, что они попарно пересекаются. Пусть C_{1}
— более удалённая от вершины C
точка пересечения окружностей, построенных на медианах AM_{1}
и BM_{2}
. Точки A_{1}
и B_{1}
определяются аналогично. Докажите, что прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке.
Решение. Рассмотрим окружности, построенные как на диаметрах на медианах AM_{1}
и BM_{2}
треугольника ABC
. Пусть C_{1}
и C_{2}
— точки пересечения этих окружностей. Докажем, что точки C_{1}
, C_{2}
и C
лежат на одной прямой, содержащей высоту треугольника.
Пусть H_{1}
и H_{2}
— точки пересечения этих окружностей со сторонами соответственно BC
и AC
треугольника ABC
. Тогда
\angle AH_{1}M_{1}=\angle BH_{2}M_{2}=90^{\circ},
поскольку эти углы опираются на диаметры. Значит, AH_{1}
и BH_{2}
— высоты треугольника ABC
. Треугольники CAB
и CH_{1}H_{2}
подобны (см. задачу 19), поэтому
\frac{CH_{1}}{CH_{2}}=\frac{AC}{BC}=\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}BC}=\frac{CM_{2}}{CM_{1}}.
Значит, CM_{1}\cdot CH_{1}=CM_{2}\cdot CH_{2}
.
Пусть прямая CC_{2}
пересекает окружность с диаметром AM_{1}
в точке P
, а окружность с диаметром BM_{2}
— в точке Q
. Тогда (см. задачу 2636)
CC_{2}\cdot CP=CH_{1}\cdot CM_{1}=CM_{2}\cdot CH_{2}=CC_{2}\cdot CQ.
Значит, точки P
и Q
совпадают с общей точкой C_{1}
этих окружностей. Следовательно, точки C_{1}
, C_{2}
и C
лежат на одной прямой.
Поскольку C_{1}C_{2}
— общая хорда пересекающихся окружностей, она перпендикулярна линии центров (см. задачу 1130), т. е. отрезку KL
, соединяющему середины медиан AM_{1}
и BM_{2}
. Поскольку KL\parallel AB
, то C_{1}C_{2}\perp AB
, значит, прямая CC_{1}
содержит высоту треугольника. Аналогично, прямые AA_{1}
и BB_{1}
— также высоты треугольника ABC
.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, следовательно, утверждение задачи доказано.
Примечание. Возможно также решение, основанное на том, что прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— радикальные оси рассматриваемых окружностей (см. задачи 44 и 6011).
Автор: Терёшин Д. А.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2009, № 10, 10-11 классы