10437. Медианы AA_{0}
, BB_{0}
и CC_{0}
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке M
, а высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— в точке H
. Касательная к описанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
в точке C_{1}
пересекает прямую A_{0}B_{0}
в точке C'
. Точки A'
и B'
определяются аналогично. Докажите, что точки A'
, B'
и C'
лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой MH
.
Решение. Воспользуемся следующими известными фактами.
1) Основания высот и медиан лежат на одной окружности \omega_{1}
— окружности девяти точек (см. задачу 174). При этом центр O_{1}
этой окружности лежит на прямой MH
, содержащей также центр O
описанной окружности \omega
треугольника ABC
, — на прямой Эйлера (см. задачу 5044).
2) Радикальная ось двух окружностей перпендикулярна их линии центров (см. задачу 6391).
Рассмотрим утверждение задачи. Поскольку O
и O_{1}
принадлежат прямой MH
(т. е. MH
— линия центров окружностей \omega
и \omega_{1}
), то достаточно доказать, что точки A'
, B'
и C'
принадлежат радикальной оси окружностей \omega
и \omega_{1}
.
Докажем этот факт для точки C'
(доказательство для остальных точек аналогично). Покажем, что CC'
— касательная к окружности \omega
. Это можно сделать различными способами.
Первый способ. Прямые CC_{1}
и A_{0}B_{0}
перпендикулярны и отрезок CC_{1}
делится прямой A_{0}B_{0}
пополам (см. задачу 2607), поэтому точки C
и C_{1}
симметричны относительно прямой B_{0}C'
. Значит,
\angle C'CA_{0}=\angle C'C_{1}A_{0},~\angle CB_{0}A_{0}=\angle C_{1}B_{0}A_{0}.
Прямая C_{1}C'
— касательная к окружности \omega_{1}
, поэтому \angle A_{0}B_{0}C_{1}=\angle A_{0}C_{1}C'
. Используя симметрию точек C
и C_{1}
относительно прямой B_{0}C'
и параллельность прямых AB
и A_{0}B_{0}
, получим, что
\angle BAC=\angle A_{0}B_{0}C=\angle C'B_{0}C_{1}=\angle A_{0}C_{1}C'=\angle C'CA_{0},
значит, CC'
— касательная к окружности \omega
(см. задачу 144).
Второй способ. Окружность девяти точек проходит через середины отрезков HA
, HB
и HC
, поэтому описанная окружность \omega
треугольника ABC
гомотетична окружности девяти точек \omega_{1}
с центром в точке H
и коэффициентом 2. При этой гомотетии касательная к окружности \omega
в точке C
перейдёт в параллельную ей касательную к окружности \omega_{1}
в точке T
— середине отрезка CH
. Эти касательные образуют с отрезком CC_{1}
равные углы. Кроме того, касательные к \omega_{1}
в точках T
и C_{1}
также образуют с CC_{1}
равные углы. Следовательно, и касательные к окружностям \omega
и \omega_{1}
в точках C
и C_{1}
соответственно образуют с CC_{1}
равные углы. Значит, точка пересечения касательных лежит на серединном перпендикуляре к CC_{1}
, т. е. на прямой A_{0}B_{0}
.
Вернёмся к решению задачи. Пусть прямая A_{0}B_{0}
пересекает окружность \omega
в точках E
и F
. В силу симметрии C'C=C'C_{1}
, поэтому
C'E\cdot CF'=C'C^{2}=C'C_{1}^{2}=C'A_{0}\cdot C'B_{0}.
Значит, степени точки C'
относительно окружностей \omega
и \omega_{1}
равны. Следовательно, точка C'
принадлежит радикальной оси этих окружностей. Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. Для доказательства того, что CC'
— касательная, также можно было воспользоваться симметрией описанных окружностей треугольников C_{1}B_{0}A_{0}
и CB_{0}A_{0}
и гомотетией с центром в точке C
и коэффициентом 2.
2. Подробнее об окружности девяти точек и о радикальной оси2 можно посмотреть в книгах: В.В.Прасолова «Задачи по планиметрии» — М.: МЦНМО, 2007 и Я.П.Понарина «Элементарная геометрия. Том 1. Планиметрия». — М.: МЦНМО, 2008.