10529. Постройте треугольник по точке Нагеля (см. задачу 4284), вершине B
и основанию высоты, проведённой из этой вершины.
Решение. Предположим, нужный треугольник ABC
построен. Пусть N
— его точка Нагеля, BB_{1}=h
— высота, I
— центр вписанной окружности радиуса r
, P
— точка касания этой окружности со стороной AC
, M
— точка пересечения медиан, N_{1}
и M_{1}
— проекции точек соответственно N
и M
на сторону AC=b
. Обозначим NN_{1}=a
.
Точка M
делит медиану BB_{0}
в отношении BM:MB_{0}=2:1
, поэтому треугольник MM_{1}B_{0}
подобен треугольнику BB_{1}B_{0}
с коэффициентом \frac{1}{3}
. Значит, MM_{1}=\frac{1}{3}h
. Известно, что точки N
, M
и I
лежат на одной прямой, причём M
лежит между N
и I
и NM:MI=2:1
(см. задачу 4550). Рассмотрим прямоугольную трапецию IPN_{1}N
с основаниями MM_{1}=\frac{1}{3}h
, NN_{1}=a
. Точка M
лежит на её боковой стороне IN
, причём NM:MI=2:1
. Тогда
MM_{1}=\frac{2}{3}IP+\frac{1}{3}NN_{1}
(см. задачу 1503), откуда
r=IP=\frac{3}{2}\left(MM_{1}-\frac{1}{3}NN_{1}\right)=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{3}h-\frac{1}{3}a\right)=\frac{h-a}{2}.
Пусть S
— площадь треугольника ABC
, p
— полупериметр, r_{b}
— радиус вневписанной окружности, касающейся стороны AC
. Тогда
S=\frac{1}{2}bh=pr=(p-b)r_{b},
откуда
p=\frac{bh}{2r},~r_{b}=\frac{pr}{p-b}=\frac{\frac{bh}{2}}{\frac{bh}{2r}-b}=\frac{hr}{h-2r}.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим треугольник BB_{1}N
. Через точку B
проводим прямую l
, перпендикулярную BB_{1}
, и находим точку Q
её пересечения с прямой BN
. Точка Q
есть точка пересечения прямой BN
с искомой стороной AC
. Последовательно строим отрезки r=\frac{h-a}{2}
и r_{b}=\frac{hr}{h-2r}
(см. задачу 2608). Затем строим окружность радиуса r_{b}
, касающуюся прямой l
в точке Q
так, чтобы её центр и точка Q
лежали по разные стороны от прямой l
. Наконец, проведя к этой окружности касательные из точки B
(см. задачу 1738), получаем искомый треугольник.
Автор: Кадыров К.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2018, заочный тур, № 8, 8-9 классы