12234. Медианы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке O
и равны соответственно 30, 24 и 18. Найдите площадь треугольников ABC
и OA_{1}C
, а также радиус окружности, описанной около треугольника OA_{1}C
.
Ответ. 288
, 48
, R=\frac{25}{4}
.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC
. По формуле Герона
S=\sqrt{36\cdot6\cdot12\cdot18}=216.
Следовательно (см. задачи 3033 и 3013),
S_{\triangle ABC}=\frac{4}{3}S=\frac{4}{3}\cdot216=288,
S_{\triangle OA_{1}C}=\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{6}\cdot288=48.
Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, AA_{1}=m_{a}
, BB_{1}=m_{b}
, CC_{1}=c
. Поскольку
a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{4}{3}(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})=\frac{4}{3}(900+576+324)=2400
(см. задачу 4047), а
b^{2}+c^{2}=\frac{1}{2}(4m_{a}^{2}+a^{2})
(см. задачу 4014), то
a^{2}=2400-(b^{2}+c^{2})=2400-\frac{1}{2}(4m_{a}^{2}+a^{2})=2400-\frac{1}{2}(4\cdot900+a^{2})=
=2400-1800-\frac{1}{2}a^{2}=600-\frac{1}{2}a^{2},~\frac{3}{2}a^{2}=600,
откуда a=20
.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника OA_{1}C
со сторонами
A_{1}O=\frac{1}{3}m_{a}=10,~OC=\frac{2}{3}m_{c}=12,~A_{1}C=\frac{1}{2}a=10.
Тогда (см. задачу 4259)
R=\frac{A_{1}O\cdot OC\cdot A_{1}C}{4S_{OA_{1}C}}=\frac{10\cdot12\cdot10}{4\cdot48}=\frac{25}{4}.