13191. Точка M
— середина стороны BC
треугольника ABC
. Касательные, проведённые из M
к вписанной окружности треугольника ABC
, касаются этой окружности в точках P
и Q
. Касательные из M
к вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
, касаются этой окружности в точках R
и S
. Прямые PQ
и RS
пересекаются в точке X
. Оказалось, что AX=AM
. Найдите угол BAC
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Докажем два ключевых факта:
1) биссектриса AL
угла BAC
также является биссектрисой угла XAM
;
2) AX\perp BC
.
Тогда в треугольнике ABC
медиана AM
и высота AX
симметричны относительно биссектрисы AL
. Отсюда получим, что угол A
прямой (см. задачу 84).
1) Обозначим через I_{1}
и I_{2}
центры соответственно вписанной и вневписанной окружностей \Omega_{1}
и \Omega_{2}
треугольника ABC
. Пусть P
и R
— те из точек касания P
, Q
, R
и S
, что лежит на стороне BC
. Тогда MQ=MP=MR=MS
(см. задачу 4805б). Значит, все точки P
, Q
, R
, S
лежат на окружности \Gamma
с центром M
и радиусом MP
. Точка X
лежит на радикальной оси окружностей \Omega_{1}
и \Gamma
(см. задачу 6392); аналогично, X
лежит на радикальной оси окружностей \Omega_{2}
и \Gamma
. Значит, X
лежит и на радикальной оси окружностей \Omega_{1}
и \Omega_{2}
(см. задачу 6393), а так как MP=MR
, то точка M
тоже лежит на этой радикальной оси, поэтому прямая XM
— радикальная ось окружностей \Omega_{1}
и \Omega_{2}
. Следовательно, прямая XM
перпендикулярна биссектрисе AL
угла BAC
.
По условию AX=AM
, поэтому высота AL
равнобедренного треугольника AXR
является его биссектрисой. Первый ключевой факт доказан.
2) Точка Q
лежит на окружности с диаметром PR
, поэтому QR\perp PQ
, значит, прямая QR
проходит через точку P'
, симметричную точке P
относительно точки I_{1}
. Точки A
, P'
и R
лежат на одной прямой (см. задачу 6411), поэтому на этой прямой лежит и точка Q
. Значит, PQ\perp QR
, т. е. PQ
— высота треугольника APR
. Аналогично, RS
— тоже высота треугольника APR
, поэтому точка X
пересечения прямых PQ
и RS
— ортоцентр треугольника APR
. Следовательно, прямая AX
перпендикулярна прямой PR
, а значит, и прямой BC
. Второй ключевой факт доказан.
Автор: Заславский А. А.
Автор: Дидин М. А.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2020, заключительный этап, задача 5, 9 класс