13640. Точки D
, E
и F
лежат на стороне AB
треугольника ABC
или на её продолжении, причём CD
— медиана треугольника ABC
, CE
— биссектриса, а CF
— биссектриса внешнего угла при вершине C
. Описанная окружность \Gamma
треугольника EFC
вторично пересекает медиану CD
в точке P
; \Gamma_{A}
и \Gamma_{B}
— описанные окружности треугольников CPA
и CPB
соответственно. Докажите, что \Gamma_{A}
и \Gamma_{B}
касаются прямой AB
в точках A
и B
соответственно.
Решение. Предположим, что AC\gt BC
(если AC=BC
, то биссектриса внешнего угла при вершине A
равнобедренного треугольника ABC
параллельна основанию AB
, см. задачу 1174). По свойству биссектрис внутреннего и внешнего угла треугольника (см. задачи 1509 и 1645)
\frac{AE}{EB}=\frac{CA}{CB}=\frac{AF}{BF}.
Обозначим AD=DB=x
, DE=e
, DF=f
. Тогда
\frac{x+e}{x-e}=\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{BF}=\frac{x+f}{f-x},
откуда x^{2}=ef
.
Точки C
, P
, E
и F
лежат на одной окружности, поэтому (см. задачу 2636)
DP\cdot DC=DE\cdot DF=ef=x^{2}=DA^{2}=DB^{2}.
Следовательно (см. задачу 4776), окружность \Gamma_{A}
касается прямой AB
в точке A
, а окружность \Gamma_{B}
— в точке B
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2000, № 3, задача 2429 (1999, с. 172), с. 185