13709. Дан треугольник ABC
с центром O
описанной и центром I
вписанной окружностей. На продолжении отрезка IO
за точку O
отложен отрезок OP=\frac{1}{4}PI
. Точки X
, Y
и Z
— проекции точки P
на прямые BC
, AC
и AB
соответственно. Докажите, что
а) AY+AZ=BZ+BX=CX+CY
;
б) P
— точка пересечения медиан треугольника с вершинами в центрах вневписанных окружностей треугольника ABC
.
Решение. а) Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, а p
— полупериметр треугольника ABC
. Пусть D
и M
— проекции точек I
и O
на прямую BC
. Тогда D
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной BC
, а M
— середина этой стороны. Значит (см. задачу 219),
BD=p-b=\frac{a+c-b}{2},
DM=|BM-BD|=\left|\frac{a}{2}-\frac{a+c-b}{2}\right|=\frac{b-c}{2}
(без ограничения общности считаем, что b\geqslant c
). По теореме о пропорциональных отрезках
MX=\frac{1}{3}DM=\frac{b-c}{6},
поэтому
BX=BM+MX=\frac{a}{2}+\frac{b-c}{6}=\frac{3a+b-c}{6}.
Аналогично,
BZ=\frac{3c+b-a}{6}.
Значит,
BX+BZ=\frac{a+b+c}{3}.
Аналогично,
AY+AZ=\frac{a+b+c}{3},~CX+CY=\frac{a+b+c}{3}.
Следовательно,
AY+AZ=BZ+BX=CX+CY.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть \triangle
— треугольник с вершинами в центрах вневписанных окружностей треугольника ABC
. Тогда I
— ортоцентр треугольника \triangle
(см. задачу 4769), а так как O
— центр окружности, проходящей через основания A
, B
и C
высот треугольника \triangle
, то O
— центр окружности девяти точек треугольника \triangle
(см. задачи 174 и 4126). Значит, O
— середина отрезка O'I
, где O'
— центр описанной окружности треугольника \triangle
. При этом OI
— прямая Эйлера треугольника \triangle
(см. задачу 5044), поэтому точка G
пересечения медиан треугольника \triangle
лежит на отрезке IO'
, причём \frac{O'G}{GI}=\frac{1}{2}
.
Положим O'G=2t
. Тогда
GI=4t,~O'I=6t,~OO'=\frac{1}{2}O'I=3t,~OG=OO'-O'G=3t-2t=t.
Значит,
\frac{OG}{OI}=\frac{t}{3t}=\frac{1}{3}=\frac{OP}{OI}.
Следовательно, точка P
совпадает с точкой G
пересечения медиан треугольника \triangle
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2002, № 7, задача 2666 (2001, с. 403), с. 463