13783. Пусть A
, B
и C
— различные точки, лежащие на одной прямой, а M
— произвольная точке, не лежащая на этой прямой. Биссектриса угла MAB
пересекает прямую MB
в точке X
. Прямая, проведённая через точку A
перпендикулярно AX
, пересекает прямую MC
в точке Y
.
а) Докажите, что прямая XY
проходит через фиксированную точку D
.
б) Пусть Z
— проекция точки A
на прямую XY
. Докажите, что \angle BZD=\angle CZD
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
а) Пусть прямая XY
пересекает прямую AC
в точке D
. Поскольку AX
— биссектриса треугольника ABM
, а AY\perp AX
, то AX
— биссектриса внешнего угла при вершине A
этого треугольника (см. задачу 937). Тогда (см. задачи 1645 и 1509)
\frac{YM}{YC}=\frac{AM}{AC},~\frac{XM}{XB}=\frac{AM}{AB}.
По теореме Менелая для треугольника BCM
и прямой XY
получаем
\frac{YM}{YC}\cdot\frac{DC}{DB}\cdot\frac{XB}{XM}=1,
откуда
\frac{DC}{DB}=\frac{YC}{YM}\cdot\frac{XM}{XB}=\frac{AC}{AM}\cdot\frac{AM}{AB}=\frac{AC}{AB}.
Значит, положение точки D
на прямой AC
фиксировано. Отсюда следует утверждение а).
б) Обозначим AB=b
, AC=c
, AZ=t
. Тогда
\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}~\Rightarrow~\frac{DC}{BC}=\frac{DC}{DB+DC}=\frac{\frac{DC}{DB}}{1+\frac{DC}{DB}}=\frac{\frac{AC}{AB}}{1+\frac{AC}{AB}}=\frac{\frac{c}{b}}{1+\frac{c}{b}}=\frac{c}{b+c}~\Rightarrow~
\Rightarrow~DC=DB\cdot\frac{c}{b+c}=\frac{c(c-b)}{b+c}~\Rightarrow~AD=c-\frac{c(c-b)}{b+c}=\frac{2bc}{b+c}.
По теореме косинусов
ZB^{2}=t^{2}+b^{2}-2tb\cos\angle ZAB=t^{2}+b^{2}-2tb\cdot\frac{AZ}{AD}=
=t^{2}+b^{2}-2tb\cdot\frac{t}{\frac{2bc}{b+c}}=\frac{b(bc-t^{2})}{c},
ZC^{2}=t^{2}+c^{2}-2tc\cos\angle ZAC=t^{2}+c^{2}-2tb\cdot\frac{AZ}{AD}=
=t^{2}+c^{2}-2tc\cdot\frac{t}{\frac{2bc}{b+c}}=\frac{c(bc-t^{2})}{b}.
Значит,
\frac{ZB^{2}}{ZC^{2}}=\frac{\frac{c(bc-t^{2})}{c}}{\frac{c(bc-t^{2})}{b}}=\frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}\Rightarrow~\frac{ZB}{ZC}=\frac{AB}{AC},
поэтому ZB
— биссектриса внешнего угла при вершине Z
треугольника BZC
(см. примечание к задаче 1645). Следовательно, ZD
— биссектриса внутреннего угла этого треугольника. Что и требовалось доказать.