14252. Точка M
— середина ребра AB
правильного октаэдра SABCDP
с ребром 1 (ABCD
— квадрат). Найдите угол и расстояние между прямыми PM
и SC
.
Ответ. а) 30^{\circ}
; б) \arccos\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Решение. а) Пусть N
— середина ребра CD
, H
— центр квадрата ABCD
. Диагонали SP
и MN
четырёхугольника PMSN
пересекаются в точке H
и делятся ею пополам. Значит, PMSN
— параллелограмм (даже ромб), поэтому SN\parallel PM
. Тогда угол \varphi
между скрещивающимися прямыми PM
и SC
равен углу между пересекающимися SN
и SC
, т. е. углу CSN
. Следовательно,
\varphi=\angle CSN=\frac{1}{2}\angle CSD=30^{\circ}.
б) Прямая PM
параллельна плоскости CSD
, так как эта прямая параллельна прямой SN
, лежащей в этой плоскости (см. задачу 8002). Значит, расстояние d
между прямыми PM
и SC
равно расстоянию от произвольной точки прямой PM
(например, от точки M
) до плоскости CSD
(см. задачу 7889), а так как точка H
— середина наклонной MN
к плоскости CSD
, то расстояние от точки M
до плоскости CSD
вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки H
(см. задачу 9180).
Пусть HQ
— высота прямоугольного треугольника SHN
. Тогда SH\perp SN
и SH\perp CD
, поэтому SH
— перпендикуляр к плоскости CSD
(см. задачу 7700). Следовательно (см. задачу 1967),
d=2HQ=2\cdot\frac{SH\cdot HN}{SN}=2\cdot\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.