14253. Дан правильный октаэдр SABCDP
с ребром 1 (ABCD
— квадрат). Найдите угол и расстояние между прямыми SC
и PB
.
Ответ. а) 60^{\circ}
; б) \arccos\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Решение. а) Пусть H
— центр квадрата ABCD
. Диагонали SP
и BD
четырёхугольника PBSD
пересекаются в точке H
и делятся ею пополам. Значит, PBSD
— параллелограмм (даже ромб), поэтому BP\parallel SD
. Тогда угол \varphi
между скрещивающимися прямыми SC
и PB
равен углу между пересекающимися SC
и SD
, т. е. углу CSD
. Следовательно,
\varphi=\angle CSD=60^{\circ}.
б) Прямая PB
параллельна плоскости CSD
, так как эта прямая параллельна прямой SD
, лежащей в этой плоскости (см. задачу 8002). Значит, расстояние d
между прямыми PB
и SC
равно расстоянию от произвольной точки прямой PB
(например, от точки B
) до плоскости CSD
(см. задачу 7889), а так как точка H
— середина наклонной BD
к плоскости CSD
, то расстояние от точки B
до плоскости CSD
вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки H
(см. задачу 9180).
Пусть N
— середина ребра CD
, HQ
— высота прямоугольного треугольника SHN
. Тогда SH\perp SN
и SH\perp CD
, поэтому SH
— перпендикуляр к плоскости CSD
(см. задачу 7700). Следовательно (см. задачу 1967),
d=2HQ=2\cdot\frac{SH\cdot HN}{SN}=2\cdot\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.