14259. Точка M
— середина бокового ребра QA
правильной четырёхугольной пирамиды QABCD
с основанием ABCD
. Точка P
симметрична Q
относительно плоскости ABCD
. Известно, что QA=AB=1
. Найдите угол и расстояние между прямыми BM
и PD
.
Ответ. а) 30^{\circ}
; б) \arccos\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Решение. а) Пусть O
— центр квадрата ABCD
. Диагонали PQ
и BD
четырёхугольника PBQD
пересекаются в точке O
и делятся ею пополам. Значит, PBQD
— параллелограмм (даже ромб), поэтому BQ\parallel PD
. Тогда угол \varphi
между скрещивающимися прямыми BM
и PD
равен углу между пересекающимися прямыми BM
и BQ
, т. е. углу MBQ
. Следовательно,
\varphi=\angle MBQ=\frac{1}{2}\angle ABQ=30^{\circ}.
б) Прямая PD
параллельна плоскости AQB
, так как эта прямая параллельна прямой BQ
, лежащей в этой плоскости (см. задачу 8002). Значит, расстояние d
между прямыми BM
и PD
равно расстоянию от произвольной точки прямой PD
(например, от точки D
) до плоскости AQB
(см. задачу 7889), а так как точка O
— середина наклонной DB
к плоскости AQB
, то расстояние от точки D
до плоскости AQB
вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки O
(см. задачу 9180).
Пусть N
— середина AB
, а OH
— высота прямоугольного треугольника NOQ
. Тогда OH\perp QN
и OH\perp AB
, поэтому OH
— перпендикуляр к плоскости AQB
(см. задачу 7700). Следовательно (см. задачу 1967),
d=2OH=2\cdot\frac{OQ\cdot OH}{QN}=2\cdot\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.