14260. Точка L
— середина бокового ребра BF
правильной четырёхугольной пирамиды FABCD
с основанием ABCD
. Точка E
симметрична F
относительно плоскости ABCD
. Известно, что FA=CD=1
. Найдите угол и расстояние между прямыми AL
и DE
.
Ответ. а) 90^{\circ}
; б) \arccos\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Решение. а) Пусть O
— центр квадрата ABCD
. Диагонали EF
и BD
четырёхугольника BEDF
пересекаются в точке O
и делятся ею пополам. Значит, BEDF
— параллелограмм (даже ромб), поэтому BF\parallel DE
. Тогда угол \varphi
между скрещивающимися прямыми DE
и AL
равен углу между пересекающимися прямыми BF
и AL
, т. е. 90^{\circ}
.
б) Прямая DE
параллельна плоскости AFB
, так как эта прямая параллельна прямой BF
, лежащей в этой плоскости (см. задачу 8002). Значит, расстояние d
между прямыми AL
и DE
равно расстоянию от произвольной точки прямой DE
(например, от точки D
) до плоскости AFB
(см. задачу 7889), а так как точка O
— середина наклонной DB
к плоскости AQB
, то расстояние от точки D
до плоскости AFB
вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки O
(см. задачу 9180).
Пусть K
— середина AB
, а OH
— высота прямоугольного треугольника KOF
. Тогда OH\perp FK
и OH\perp AB
, поэтому OH
— перпендикуляр к плоскости AFB
(см. задачу 7700). Следовательно (см. задачу 1967),
d=2OH=2\cdot\frac{OF\cdot OK}{FK}=2\cdot\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.