16305. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AA'
, BB'
и CC'
. Обозначим через l_{b}
расстояние между проекциями точки A'
на прямые AB
и AC
. Аналогично определим l_{b}
и l_{c}
. Пусть l
— периметр треугольника ABC
. Докажите, что
\frac{l_{a}l_{b}l_{c}}{l^{3}}\leqslant\frac{1}{64}.
Решение. Обозначим углы треугольника ABC
, противолежащие сторонам BC=a
, CA=b
и AB=c
, через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, p
— полупериметр треугольника ABC
. Пусть H
и C
— проекции точки A'
на прямые AB
и AC
.
Из точек H
и C
отрезок AA'
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AA'
. По теореме синусов KH=AA'\sin\alpha
.
По формуле для биссектрисы треугольника (см. задачу 4021)
AA'=\frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}~\Rightarrow~l_{a}=KH=AA'\sin\alpha=\frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}\cdot\sin\alpha=
=\frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}\cdot2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{2bc\sin\frac{\alpha}{2}}{b+c}\cdot2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{2bc\sin\frac{\alpha}{2}}{b+c}(1+\cos\alpha)=
=\frac{2bc\sin\frac{\alpha}{2}}{b+c}\left(1+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right)=\frac{((b+c)^{2}-a^{2})\sin\frac{\alpha}{2}}{b+c}=
=\frac{(b+c+a)(b+c-a)\sin\frac{\alpha}{2}}{b+c}=\frac{2l(p-a)\sin\frac{\alpha}{2}}{b+c}.
Значит,
\frac{l_{a}}{l}=\frac{2(p-a)\sin\frac{\alpha}{2}}{b+c}.
Аналогично,
\frac{l_{b}}{l}=\frac{2(p-b)\sin\frac{\beta}{2}}{a+c}~\mbox{и}~\frac{l_{c}}{l}=\frac{2(p-c)\sin\frac{\gamma}{2}}{a+b},
поэтому
\frac{l_{a}l_{b}l_{c}}{l^{3}}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\cdot8(p-a)(p-b)(p-c)}{(b+c)(a+c)(a+b)}.
Далее воспользуемся равенствами
S=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},~\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{4R},
(см. задачи 452, 2730 и 3225а),
abc=4prR~\mbox{и}~ab+bc+ac=p^{2}+r^{2}+4rR
(см. задачи 4259 и 11293) и легко проверяемым тождеством
(b+c)(a+c)(a+b)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc.
Получим
(b+c)(a+c)(a+b)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc=
=2p(p^{2}+r^{2}+4rR)-4rRp=2p(p^{2}+r^{2}+2rR).
Тогда
\frac{l_{a}l_{b}l_{c}}{l^{3}}=\frac{\frac{r}{4R}\cdot8\cdot r^{2}p}{2p(p^{2}+r^{2}+2rR)}=\frac{r^{3}}{R(p^{2}+r^{2}+2rR)},
а так как p^{2}\geqslant27r^{2}
(см. задачи 3226 и 3587), то
R(p^{2}+r^{2}+2rR)\geqslant2r(27r^{2}+r^{2}+4r^{2})=64r^{3}
(см. задачу 3587). Следовательно,
\frac{l_{a}l_{b}l_{c}}{l^{3}}=\frac{r^{3}}{R(p^{2}+r^{2}+2rR)}\leqslant\frac{r^{3}}{64r^{3}}=\frac{1}{64}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Корейские математические олимпиады. —
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 3, задача 5, с. 156