16321. В треугольнике ABC
с углом 120^{\circ}
при вершине A
проведены биссектрисы AD
, BE
и CD
. Докажите, что окружность с диаметром EF
проходит через точку D
.
Решение. Первый способ. См. задачу 1119
Второй способ. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
и \angle BAC=\alpha
. Тогда по формуле для биссектрисы треугольника (см. задачу 4021)
AD=\frac{2AC\cdot AB\cos\frac{1}{2}\angle BAC}{AC+AB}=\frac{2bc\cos60^{\circ}}{b+c}=\frac{bc}{b+c},
а так как по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
DC=BC\cdot\frac{CD}{CD+BD}=\frac{ab}{b+c},
то
\frac{AD}{DC}=\frac{\frac{bc}{b+c}}{\frac{ab}{b+c}}=\frac{c}{a}=\frac{AE}{EC}.
Значит (см. задачу 1510), DE
— биссектриса угла ADC
. Аналогично докажем, что DE
— биссектриса смежного с ним угла ADB
. Тогда \angle EDF=90^{\circ}
. Следовательно, точка D
лежит на окружности с диаметром EF
(см. задачу 1689).
Источник: Британская математическая олимпиада. — 2005
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 7, задача 2, с. 444