16659. В остроугольном треугольнике ABC
(AB\lt AC
) точка O
— центр описанной окружности \Omega
(рис. 1). Пусть касательная к \Omega
, проведённая в точке A
, пересекает прямую BC
в точке D
. Пусть прямая DO
пересекает отрезки AB
и AC
в точках E
и F
соответственно. Точка G
построена так, что AEGF
— параллелограмм. Пусть K
и H
— точки пересечения отрезка BC
с отрезками EG
и FG
соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника окружность GKH
касается окружности \Omega
.
Решение. Пусть точка T
симметрична точке A
относительно прямой DO
(рис. 2). Тогда DT
— касательная к окружности \Omega
, симметричная касательной DA
относительно прямой DO
. Тогда
\angle ETF=\angle FAE=\angle EGF.
Значит (см. задачу 12), точки E
, F
, T
и G
лежат на одной окружности. Кроме того (см. задачу 87),
\angle ETD=\angle DAE=\angle ACB=\angle EKD,
Отсюда вытекает, что точки D
, E
, K
и T
лежат на одной окружности. Получается, что T
— это точка Микеля для четвёрки прямых DBC
, DEF
, EKG
и FHG
. Значит, точки T
, K
, H
и G
также лежат на одной окружности (см. задачу 995). Остаётся доказать, что DT
— касательная к описанной окружности четырёхугольника TKHG
.
Пользуясь вписанностью четырёхугольника DTKE
, равенством вписанных углов, параллельностью, симметрией относительно прямой DO
и вписанностью четырёхугольника ETGF
, получаем
\angle DTK=\angle FEK=\angle EFA=\angle TFE=\angle TGK.
Полученное равенство \angle DTK=\angle TGK
означает, что прямая DT
касается описанной окружности четырёхугольника TKHG
(см. задачу 144). Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. От редакции журнала «Квант». В геометрической конструкции этой можно обнаружить также следующие интересные свойства.
(1) Если описанная окружность треугольника EFG
вторично пересекает прямые AB
и AC
в точках P
и Q
, то прямая PQ
пройдёт через ортоцентр треугольника ABC
;
(2) прямая AG
пересекает описанную окружность четырёхугольника TKHG
вторично в точке X
, для которой касательная к этой окружности, проведённая через точку X
, проходит через точку D
.
При этом (1) справедливо для любой пары точек E
и F
, лежащих на прямых AB
и AC
, причём прямая EF
проходит через точку O
, а (2) справедливо для любой пары точек E
и F
, лежащих на AB
и AC
, причём EF
проходит через точку D
(этот факт предлагался на XIX Жаутыковской олимпиаде; авторы — М.Кунгожин, И.Богданов, см. задачу 16105).
Автор красивых задач по геометрии Чан Куанг Хунг нашёл следующее обобщение данной задачи.
Задача (*). В треугольнике ABC
точка O
— центр описанной окружности \Omega
(рис. 3). Пусть P
— произвольная точка на \Omega
, а прямая PA
пересекает прямую BC
в точке D
. Пусть прямая DO
пересекает отрезки AB
и AC
в точках E
и F
соответственно. Точка G
построена так, что EG\parallel PC
и FG\parallel PB
. Пусть K
и H
— точки пересечения отрезка BC
с отрезками EG
и FG
соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника GKH
касается окружности \Omega
.
Задача М2793 является частным (предельным) случаем задачи (*), в котором точки P
и A
совпадают. Задачу (*) можно решить, во многом повторив шаги из приведённого выше решения задачи М2793. Точкой касания описанной окружности треугольника GKH
и окружности \Omega
будет точка, симметричная точке A
относительно прямой DO
.
Автор: Донг Луу (Вьетнам)
Источник: Журнал «Квант». — 2024, № 4, M2793, с. 14; № 7, M2793, с. 25
Источник: Задачник «Кванта». — M2793