17092. Дан треугольник ABC
, C
— произвольная точка луча AD
, E
и F
— точки касания соответственно сторон DA
и BD
треугольника ADB
с вписанной в него окружности. Докажите, что при движении точки D
по лучу AC
прямая EF
проходит через некоторую постоянную точку.
Решение. На луче AC
отметим точку L
, для которой AL=AB
, и обозначим через M
середину отрезка BL
. Докажем, что для любого положения точки D
на луче AC
прямая EF
проходит через точку M
.
Обозначим \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{DB}=\overrightarrow{b}
, DA=a
, DB=b
, AB=AL=d
, a+b+d=2p
. Тогда
\overrightarrow{DL}=\frac{a-d}{a}\overrightarrow{a},~\overrightarrow{DF}=\frac{p-d}{b}\overrightarrow{b},
так как DF=p-AB=p-d
(см. задачу 219). Кроме того (см. задачу 4500),
\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DL})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\frac{a-d}{a}\overrightarrow{a}).
Значит,
\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{a-d}{2a}\overrightarrow{a}-\frac{p-d}{b}\overrightarrow{b}=
=\frac{a-d}{2a}\overrightarrow{a}+\frac{b-2p+2d}{2b}\overrightarrow{b}=\frac{a-d}{2a}\overrightarrow{a}-\frac{a-d}{2b}\overrightarrow{b}=\frac{a-d}{2}\left(\frac{1}{a}\overrightarrow{a}-\frac{1}{b}\overrightarrow{b}\right).
Пусть DK
— биссектриса треугольника ADB
тогда \frac{AK}{KB}=\frac{DA}{DB}=\frac{a}{b}
(см. задачу 1509). Значит (см. задачу 4186),
\overrightarrow{DK}=\frac{b}{a+b}\overrightarrow{a}+\frac{a}{a+b}\overrightarrow{b}=\frac{1}{a+b}(b\overrightarrow{a}+a\overrightarrow{b}),
поэтому
\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{DK}=\frac{a-d}{2(a+b)}\left(\frac{1}{a}\overrightarrow{a}-\frac{1}{b}\overrightarrow{b}\right)(b\overrightarrow{a}+a\overrightarrow{b})=
=\frac{a-d}{2(a+b)}\left(\frac{1}{a}\cdot b\cdot a^{2}-\frac{1}{b}\cdot a\cdot b^{2}+\frac{1}{a}\cdot a\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\frac{1}{b}\cdot b\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)=
=\frac{a-d}{2(a+b)}(ab-ab+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=0.
Значит, FM\perp DK
. При этом EM\perp DK
(см. задачу 1180), так как биссектриса DK
проходит через центр окружности, вписанной в угол ADB
, поэтому прямая EF
тоже проходит через точку M
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Болгарские математические олимпиады. — 1988, IV тур
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 8, с. 67