5479. С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник по двум его неравным высотам h
и h_{1}
.
Указание. Выразите через h
и h_{1}
основание треугольника.
Решение. Первый способ. Пусть h
и h_{1}
— данные высоты, опущенные соответственно на основание и на боковую сторону искомого равнобедренного треугольника. Через произвольную точку M
, лежащую на произвольной прямой l
, проведём прямую, перпендикулярную l
, и отложим на ней отрезок MA=h
. С центром в точке M
проведём окружность радиуса \frac{h_{1}}{2}
, а из точки M
— касательные к этой окружности (см. задачу 1738). Пусть эти касательные пересекают прямую l
в точках A
и B
. Докажем, что треугольник ABC
— искомый.
Действительно, пусть P
и Q
— точки касания, лежащие на сторонах соответственно AB
и AC
построенного треугольника ABC
. Прямоугольные треугольники APM
и AQM
равны, поэтому высота AM=h
является биссектрисой треугольника ABC
. Значит, треугольник равнобедренный. Пусть CK
— высота треугольника ABC
. Тогда MP
— средняя линия треугольника BCK
, значит, CK=2MP=h_{1}
. Что и требовалось доказать.
Катет MP
прямоугольного треугольника AMB
меньше его гипотенузы AM
, значит \frac{h_{1}}{2}=MP\lt AM=h
. Следовательно, задача имеет решение, причём единственное, тогда и только тогда, когда h_{1}\lt2h
.
Второй способ. Пусть AM=h
— высота равнобедренного треугольника ABC
, опущенная на основание BC
, а CN=h_{1}
— высота, опущенная на боковую сторону AB
, \alpha
— угол при основании. Из прямоугольных треугольников AMB
и CNB
находим, что
MB=AM\ctg\alpha=h\ctg\alpha,~BC=\frac{CN}{\sin\alpha}=\frac{h_{1}}{\sin\alpha},
а так как BC=2MB=2h\ctg\alpha
, то \frac{h_{1}}{\sin\alpha}=2h\ctg\alpha
, или h_{1}=2h\cos\alpha
. Поэтому \cos\alpha=\frac{h_{1}}{2h}
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим прямоугольный треугольник XYM
по гипотенузе XY=2h
и катету MY=h_{1}
. На луче MX
откладываем отрезок MA=h
и через точку A
проводим прямую, параллельную XY
, до пересечения в прямой MY
в точке B
. На продолжении отрезка BM
за точку M
откладываем отрезок MC=MB
. Докажем, что ABC
— искомый треугольник.
Действительно, треугольник ABC
равнобедренный, так как его высота AM
является медианой; AM=h
по построению. Пусть CN
— высота треугольника ABC
, опущенная на боковую сторону AB
. Тогда
CN=BC\sin\angle ABC=2MB\sin\angle ABC=2AM\ctg\angle ABC\cdot\sin\angle ABC=
=2AM\cos\angle ABC=2AM\cdot\frac{MY}{XY}=2h\cdot\frac{h_{1}}{2h}=h_{1}.
Что и требовалось доказать.
Если h_{1}\lt2h
задача имеет единственное решение. В остальных случаях решений нет, так как катет MY=h_{1}
прямоугольного треугольника XYM
меньше гипотенузы XY=2h
.
Третий способ. Пусть AM=h
— высота равнобедренного треугольника ABC
, опущенная на основание BC=a
, а CN=h_{1}
— высота, опущенная на боковую сторону AB
. Из прямоугольного треугольника AMB
находим, что
h^{2}=AB^{2}-MB^{2}=b^{2}-\frac{a^{2}}{4}.
Кроме того BC\cdot AM=AB\cdot CN
, или ah=bh_{1}
(см. задачу 1967). Из системы
\syst{ah=bh_{1}\\b^{2}-\frac{a^{2}}{4}=h^{2}\\}
находим, что a=\frac{2hh_{1}}{\sqrt{4h^{2}-h_{1}^{2}}}
.
Отсюда вытекает следующее построение. По данным отрезкам h
и h_{1}
, строим отрезки n=4h
и m=\sqrt{n^{2}-h_{1}^{2}}
(см. задачу 1966). Затем по отрезкам m
, h
и h_{1}
строим отрезок BC=\frac{2hh_{1}}{m}
(см. задачу 2608). Через середину M
построенного отрезка BC
проводим перпендикуляр к BC
и откладываем на нём отрезок MA=h
. Получаем искомый равнобедренный треугольник ABC
.
Действительно, треугольник ABC
равнобедренный, так как его высота AM
является медианой. Его высота AM
равна h
по построению. Пусть AN
— его высота, опущенная на основание. Тогда
CN=\frac{BC\cdot h}{AB}=\frac{BC\cdot h}{\sqrt{AM^{2}+\frac{1}{4}BC^{2}}}=\frac{\frac{2hh_{1}}{\sqrt{4h^{2}-h_{1}^{2}}}\cdot h}{\sqrt{h^{2}+\frac{1}{4}\left(\frac{2hh_{1}}{\sqrt{4h^{2}-h_{1}^{2}}}\right)^{2}}}=h_{1}.
Если h_{1}\lt2h
задача имеет единственное решение. В остальных случаях решений нет.
Примечание. Неравенство h_{1}\lt2h
можно получить, используя соотношение \frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{r}
(см. задачу 3239), где h_{a}
, h_{b}
, h_{c}
— высоты треугольника, опущенные на стороны a
, b
и c
, а r
— радиус вписанной окружности треугольника (в нашем случае h_{a}=h
, h_{b}=h_{c}=h_{1}
).
Действительно, так как 2r\lt h
, то \frac{1}{r}\gt\frac{2}{h}
, поэтому
\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{h}+\frac{2}{h_{1}}=\frac{1}{r}\gt\frac{2}{h},
откуда \frac{1}{h}\lt\frac{2}{h_{1}}
. Следовательно, h_{1}\lt2h
.