6951. Найдите наибольший периметр параллелограмма, диагонали которого равны 6 и 8.
Ответ. 20.
Решение. Пусть стороны параллелограмма равны a
и b
, а диагонали равны d_{1}
и d_{2}
. Тогда
2a^{2}+2b^{2}=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=36+64=100,~a^{2}+b^{2}=50
(см. задачу 4011). Тогда
\frac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=5,
причём равенство достигается, когда a=b=5
(см. задачу 3340, 3341, 3342, 3399). Следовательно, наибольшее значение периметра параллелограмма равно 4\cdot5=20
.