9188. Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
образует с плоскостью основания угол 60^{\circ}
. Точка M
— середина бокового ребра SD
.
а) Докажите, что плоскости AMB
и CSD
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AB
и CM
, если сторона основания пирамиды равна 4\sqrt{3}
.
Ответ. 6.
Решение. а) Плоскости AMB
и CSD
проходят через параллельные прямые AB
и CD
соответственно, поэтому прямая их пересечения параллельна CD
(см. задачу 8004). Значит, эта прямая пересекает медиану SL
грани SCD
в её середине P
.
Пусть SK
— медиана грани ASB
. Тогда плоскость KSL
перпендикулярна ребру CD
, значит, SLK
— линейный угол двугранного угла пирамиды при этом ребре. По условию задачи \angle SLK=60^{\circ}
, значит, равнобедренный треугольник KSL
— равносторонний. Его медиана KP
является высотой, а так как CD\perp KP
, то прямая KP
перпендикулярна двум пересекающимся прямым SL
и CD
плоскости SCD
. Значит, KP
— перпендикуляр к плоскости CSD
(см. задачу 7700).
Плоскость AMB
проходит через прямую KP
, перпендикулярную плоскости CSD
, следовательно, эти плоскости перпендикулярны (см. задачу 7710).
б) Прямая AB
параллельна плоскости CSD
, так как она параллельна прямой CD
, лежащей в этой плоскости (см. задачу 8002). Значит, расстояние между прямыми AB
и CM
равно расстоянию от любой точки прямой AB
до этой плоскости (см. задачу 7889), например, от точки K
. Поскольку KP
— перпендикуляр к плоскости CSD
, то это расстояние равно высоте KP
равностороннего треугольника KSL
, т. е.
KP=\frac{KL\sqrt{3}}{2}=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=6.