10427. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AP
и BQ
, а также медиана CM
. Точка R
— середина CM
. Прямая PQ
пересекает прямую AB
в точке T
. Докажите, что OR\perp TC
, где O
— центр описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Первый способ. Пусть H
— ортоцентр треугольника, O_{1}
— середина CH
(рис. 1). Заметим, что достаточно доказать следующие два утверждения.
1. Прямая OR
проходит через точку O_{1}
.
2. Прямые OO_{1}
и CT
перпендикулярны.
Для доказательства первого утверждения воспользуемся тем, что OM\parallel CH
и OM=\frac{1}{2}CH=O_{1}C
(см. задачу 1257), т. е. MOCO_{1}
— параллелограмм, а R
— точка пересечения его диагоналей
Докажем второе утверждение.
Пусть S
— вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников ABC
(с центром O
) и PQC
(с центром O_{1}
). Также рассмотрим окружность с диаметром AB
. Тогда AB
, PQ
и CS
являются радикальными осями пар данных окружностей, а следовательно пересекаются в одной точке (радикальном центре). Значит, S
принадлежит прямой CT
— радикальной оси окружностей, описанных около треугольников ABC
и PQC
. Следовательно, CT\perp OO_{1}
(см. задачу 5051). Что и требовалось доказать.
Второй способ. Проведём высоту CL
(рис. 2). Заметим, что R
— центр описанной окружности прямоугольного треугольника CLM
(см. задачу 8). Докажем, что TC
— радикальная ось описанных окружностей треугольников ABC
и CLM
. Тогда она перпендикулярна линии центров этих окружностей, т. е. прямой OR
, что и требуется.
Точка C
лежит на радикальной оси этих окружностей как одна из точек пересечения. Докажем, что степени точки T
относительно этих окружностей равны.
Рассмотрим окружность девяти точек (см. задачу 174) треугольника ABC
(она содержит точки P
, Q
, L
и M
) и окружность, описанную около четырёхугольника AQPB
(рис. 3). Тогда
TL\cdot TM=TP\cdot TQ=TB\cdot TA
(см. задачу 2632). Что и требовалось доказать.
Третий способ. Точки P
и Q
лежат на окружности с диаметром CH
. Пусть S
— вторая точка пересечения этой окружности с описанной окружностью треугольника ABC
. Точки S
, H
и M
лежат на одной прямой (см. задачу 3180). Отрезок CS
— хорда описанной окружности треугольника ABC
, поэтому точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CS
. Этот серединный перпендикуляр параллелен катету MS
прямоугольного треугольника CMS
, значит, из теоремы Фалеса получаем, что на нём лежит середина R
гипотенузы CM
. Таким образом, OR\perp CS
, а так как точки C
, S
и T
лежат на одной прямой (см. задачу 10875), то OR\perp CT
. Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью Ю.Блинкова «Ортоцентр, середина стороны, точка пересечения касательных и ... ещё одна точка!», Квант, 2004, N1, с.43-46.