14857. Дан куб с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
и DD'
. Ребро куба равно 1. Точки M
и N
— середины рёбер CD
и CC'
соответственно. Найдите расстояние между прямыми AN
и BM
.
Ответ. \frac{2}{\sqrt{41}}
.
Решение. Первый способ. Через прямую AN
проведём плоскость \alpha
, параллельную прямой BM
. Тогда расстояние от любой точки прямой BM
до плоскости \alpha
будет искомым (см. задачу 7889).
Для построения плоскости \alpha
проведём прямую AP
параллельно BM
(точка P
лежит на прямой CD
). Плоскость APN
и есть плоскость \alpha
(по признаку параллельности прямой и плоскости, см. задачу 8002). Опустим на прямую AP
перпендикуляр MQ
, а также восставим перпендикуляр MR
к основанию куба из точки M
(R
— точка его пересечения с прямой PN
).
Плоскости APN
и MQR
перпендикулярны (см. задачу 8008). Тогда высота MH
треугольника MQR
и будет искомым расстоянием.
Поскольку ABMP
— параллелограмм, AB=MP=1
. Из подобия треугольников MPR
и CPN
получаем
MR=\frac{MP\cdot NC}{PC}=\frac{1}{3}.
Углы PMQ
и MBC
равны, так как их стороны попарно перпендикулярны. Следовательно, прямоугольные треугольники PQM
и BCM
подобны, поэтому
MQ=\frac{MP\cdot BC}{MB}=2\sqrt{5}.
Искомое расстояние — высота MH
прямоугольного треугольника MQR
с катетами MR
и MQ
, т. е. (см. задачу 1967)
MH=\frac{MR\cdot MQ}{\sqrt{MR^{2}+MQ^{2}}}=\frac{MR\cdot MQ}{\sqrt{\frac{1}{9}+20}}=\frac{2}{\sqrt{41}}.
Второй способ. Введём прямоугольную систему координат Cuyz
с началом в точке C
, направив ось CX
по лучу CD
, ось Cy
— по лучу CB
, ось Cz
— по лучу CC'
. Найдём уравнение плоскости \alpha
, проходящей через прямую AN
параллельно прямой BM
(см. первый способ). Эта плоскость пересекает оси координат в точках N\left(0;0;\frac{1}{2}\right)
, P\left(\frac{1}{2};0;0\right)
и T(0;0;3)
, значит, её уравнение имеет вид (см. задачу 7564)
\frac{x}{\frac{3}{2}}+\frac{y}{3}+\frac{z}{\frac{1}{2}}=1~\mbox{или}~2x+y+6z-3=0
Тогда тогда искомое расстояние d
между прямыми AN
и BM
равно расстоянию от любой точки прямой BM
(в частности, от точки B(0;1;0)
до плоскости \alpha
. Следовательно (см. задачу 7563),
d=\frac{|2\cdot0+1\cdot1+6\cdot0-3|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}+6^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{41}}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1989, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1989, с. 219, задача 5, вариант 1