16045. Точка Нагеля треугольника ABC
(см. задачу 4284) лежит на его вписанной окружности. Докажите, сумма двух сторон треугольника в три раза больше его третьей стороны.
Решение. Пусть N
— точка Нагеля, I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
, AB=C
, полупериметром p
и радиусами r
и R
вписанной и описанной окружностей соответственно, G
— точка пересечения медиан.
Тогда
IG^{2}=\frac{1}{9}(p^{2}-16Rr+5r^{2})
(см. задачу 12955), а так как IN=3IG
(см. задачу 4550), то
IN^{2}=9IG^{2}=p^{2}-16Rr+5r^{2}.
Кроме того, поскольку (см. задачи 4259, 452 и 11293б)
abc=4Rrs,~ab+ac+bc=p^{2}+4Rr+r^{2},
то, учитывая, что точка N
лежит на вписанной окружности треугольника ABC
, получим
IN=r~\Leftrightarrow~p^{2}-16Rr+5r^{2}=r^{2}~\Leftrightarrow~p^{2}-16Rr+4r^{2}=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~p(p^{2}-16Rr+4r^{2})=0~\Leftrightarrow~p^{3}+(4p^{3}+16Rrp+4r^{2}p)-4p^{3}-32Rrp=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~p^{3}-(2a+2b+2c)p^{2}+4p(ab+ac+bc)-8abc=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(p-2a)(p-2b)(p-2c).
Значит, либо p=2a
, либо p=2b
, либо p=2c
. Следовательно, либо b+c=3a
, либо a+c=3b
, либо a+b=3c
. Что и требовалось доказать.