16201. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность радиуса R
. Его диагонали AC
и BD
перпендикулярны и пересекаются в точке P
, удалённой от центра окружности на расстояние d
. Найдите наименьший и наибольший периметр периметр такого четырёхугольника.
Ответ. 2\sqrt{2R}(\sqrt{R+d}+\sqrt{R-d})
, \left(\sqrt{R\sqrt{2}-d}+\sqrt{R\sqrt{2}+d}\right)^{2}
.
Решение. Пусть периметр четырёхугольника равен 2p
. Тогда
(2p)^{2}=(AB+BC+CD+DA)^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}+
+2(AB\cdot CD+AD\cdot BC)+2(AB\cdot AD+CB\cdot CD)+2(BA\cdot BC+DA\cdot DC).
При этом (см. задачи 2768, 130, 423 и 3829)
AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+DA^{2}=4R^{2},
AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD,
AC^{2}+BD^{2}=8R^{2}-4d^{2},
AB\cdot AD+CB\cdot CD=2R\cdot AC~\mbox{и}~BA\cdot BC+DA\cdot DC=2R\cdot BD.
Значит,
2AC\cdot BD=(AC+BD)^{2}-AC^{2}-BD^{2}=(AC+BD)^{2}-8R^{2}+4d^{2},
4p^{2}=8R^{2}+2AC\cdot BD+4R\cdot AC+4R\cdot BD=
=8R^{2}+((AC+BD)^{2}-8R^{2}+4d^{2})+4R(AC+BD)=
=(AC+BD)^{2}+4R(AC+BD)+4d^{2}.
Таким образом, поскольку
2AC\cdot BD=AC^{2}+BD^{2}-(AC-BD)^{2}=8R^{2}-4d^{2}-(AC-BD)^{2},
то максимальный (минимальный) периметр четырёхугольника ABCD
соответствует максимальному (минимальному) значению произведения AC\cdot BD
, а значит, минимальному (максимальному) значению |AC-BD|
. Следовательно, максимум достигается при при AC=BD
, а минимум — при AC=2R
и BD=2\sqrt{R^{2}-d^{2}}
(соответственно для наибольшей и наименьшей хорды, проходящей через точку P
, см. задачу 470).
Найдём максимальное значение периметра. Пусть O
— центр окружности, M
и N
— его проекции на равные хорды AC
и BD
соответственно. Тогда PMON
— квадрат стороной \frac{d}{\sqrt{2}}
. По теореме Пифагора
\frac{AC^{2}}{4}=R^{2}-\frac{d^{2}}{2}~\Rightarrow~AC^{2}=4R^{2}-2d^{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~4p^{2}=(AC+BD)^{2}+4R(AC+BD)+4d^{2}=4AC^{2}+8R\cdot AC+4d^{2}=
=4(4R^{2}-2d^{2})+8R\sqrt{4R^{2}-2d^{2}}+4d^{2}=16R^{2}-4d^{2}+8R\sqrt{4R^{2}-2d^{2}}~\Rightarrow
\Rightarrow~2p=\sqrt{16R^{2}-4d^{2}+8R\sqrt{4R^{2}-2d^{2}}}=\left(\sqrt{R\sqrt{2}-d}+\sqrt{R\sqrt{2}+d}\right)^{2}.
Найдём максимальное значение периметра. В этом случае AC
— диаметр окружности, треугольник ABC
прямоугольный, а BP
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Предположим, что AP\lt CP
. Тогда (см. задачу 2728),
CD^{2}=BC^{2}=AC\cdot CP=2R(R+d),~AD^{2}=AB^{2}=AC\cdot AP=2R(R-d).
Значит,
2p=2BC+2AB=2\sqrt{2R}(\sqrt{R+d}+\sqrt{R-d}).
Источник: Вьетнамские математические олимпиады. — 1997
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2003, № 5, задача 1 (2001, с. 167), с. 280