16427. Углы треугольника ABC
, противолежащие сторонам BC=a
, CA=b
и AB=c
, равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, S
— площадь треугольника, R
— радиус описанной окружности. Докажите, что
a\cos^{3}\alpha+b\cos^{3}\beta+c\cos^{3}\gamma=\frac{S}{R}(1-4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma).
Решение. Рассмотрим случай остроугольного треугольника ABC
.
Пусть AD
, BE
и CF
— высоты треугольника ABC
. Тогда
S_{\triangle AEF}=S\cos^{2}\alpha,~S_{\triangle BDF}=S\cos^{2}\beta,~S_{\triangle CDE}=S\cos^{2}\gamma
(см. задачу 59). Значит,
S_{1}=S_{\triangle DEF}=S(1-\cos^{2}\alpha-\cos^{2}\beta-\cos^{2}\gamma)=2S\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma
(см. задачу 3254б).
Поскольку
EF=a\cos\alpha,~FD=b\cos\beta,~DE=c\cos\gamma
(см. задачу 19), то из равенств
abc(a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma)=8S^{2}~\mbox{и}~abc=4RS
(см. задачи 16426 и 4259) получаем
a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma=\frac{8S^{2}}{abc}=\frac{8S^{2}}{4RS}=\frac{2S}{R}.
Пусть R_{1}
— радиус описанной окружности треугольника ABC
, т. е. окружности девяти точек треугольника ABC
(см. задачу 174). Эта окружность проходит через середины сторон треугольника ABC
, поэтому R_{1}=\frac{R}{2}
.
Пусть DD_{1}
, EE_{1}
и FF_{1}
— высоты треугольника DEF
. Тогда D_{1}E_{1}F_{1}
— ортотреугольник остроугольного треугольника DEF
, поэтому его периметр равен (см. задачу 16426)
F_{1}E_{1}+F_{1}D_{1}+D_{1}E_{2}=\frac{2S_{1}}{R_{1}}=\frac{2\cdot2S\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\frac{R}{2}}=\frac{8S}{R}\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.
В то же время,
E_{1}F_{1}=EF\cos\angle EDF=a\cos\alpha\cos(180^{\circ}-2\alpha)=-a\cos\alpha\cos2\alpha=
=a\cos\alpha(1-2\cos^{2}\alpha)=a\cos\alpha-2a\cos^{3}\alpha.
Аналогично,
F_{1}D_{1}=b\cos\alpha-2b\cos^{3}\beta,~D_{1}E_{1}=c\cos\gamma-2c\cos^{3}\gamma.
После сложения этих трёх равенств получим
2(a\cos^{3}\alpha+b\cos^{3}\beta+c\cos^{3}\gamma)=(a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma)-(E_{1}F_{1}+F_{1}D_{1}+D_{1}E_{1})=
=\frac{2S}{R}-\frac{8S}{R}\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=\frac{2S}{R}(1-4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma).
Следовательно,
a\cos^{3}\alpha+b\cos^{3}\beta+c\cos^{3}\gamma=\frac{S}{R}(1-4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma).
Что и требовалось доказать.
С некоторыми изменениями приведённые рассуждения годятся и для тупоугольного треугольника.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1943, том 18, № 1, задача 492, с. 43