9200. Плоскость проходит через середины боковых рёбер DA
и DC
треугольной пирамиды ABCD
и точку пересечения медиан основания ABC
.
а) Постройте точку пересечения этой плоскости с прямой DB
.
б) Найдите расстояние от точки A
до этой плоскости, если все рёбра пирамиды равны 3\sqrt{6}
.
Ответ. 2.
Решение. а) Пусть M
и N
— середины рёбер DA
и DC
пирамиды ABCD
, O
— точка пересечения медиан грани ABC
. Поскольку MN
— средняя линия треугольника ABC
, прямая MN
параллельна прямой AC
, лежащей в плоскости ABC
. Значит, прямая MN
параллельна плоскости ABC
(см. задачу 8002). Секущая плоскость проходит через эту прямую и имеет с плоскостью ABC
общую точку O
, значит, прямая l
пересечения этих плоскостей проходит через точку O
и параллельна прямой AC
(см. задачу 8003).
Пусть K
— точка пересечения прямой l
с ребром AB
, а прямые KM
и BD
пересекаются в точке P
. Тогда P
— точка пересечения секущей плоскости с прямой AD
.
б) Прямая AC
параллельна прямой MN
, лежащей в секущей плоскости, значит, расстояние от точки A
до секущей плоскости равно расстоянию до этой плоскости от любой точки прямой AC
, например, от середины E
отрезка AB
.
Пусть Q
— точка пересечения DE
и MN
. Тогда Q
— середина DE
. Высота EH
треугольника OEQ
перпендикулярна AC
, а значит, и KL
. Следовательно, EH
— перпендикуляр к секущей плоскости, а расстояние от точки E
до этой плоскости равно EH
.
Обозначим AC=a
. Тогда
DE=BE=\frac{a\sqrt{3}}{2},~OE=\frac{1}{3}BE=\frac{a\sqrt{3}}{6},~DO=a\sqrt{\frac{2}{3}}
(см. задачу 7040).
Отрезок OQ
— медиана прямоугольного треугольника DOE
, проведённая из вершины прямого угла, значит,
OQ=QD=QE=\frac{a\sqrt{3}}{4}
(см. задачу 1109). Пусть QF
— высота равнобедренного треугольника OQE
. Тогда QF
— средняя линия треугольника DOE
, поэтому
QF=\frac{1}{2}DO=\frac{1}{2}a\sqrt{\frac{2}{3}}.
Записав двумя способами площадь треугольника OQE
, получим равенство OQ\cdot EH=OE\cdot QF
(см. задачу 1967). Следовательно,
EH=\frac{OE\cdot QF}{OQ}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{1}{2}a\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{a\sqrt{3}}{4}}=\frac{1}{3}a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{6}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=2.
Примечание. а) Пусть BE
— медиана треугольника ABC
. По теореме Фалеса \frac{AK}{KB}=\frac{EO}{OB}=\frac{1}{2}
. По теореме Менелая (см. задачу 1622)
\frac{AK}{KB}\cdot\frac{BP}{PD}\cdot\frac{DM}{MA}=1,~\mbox{или}~\frac{1}{2}\cdot\frac{BP}{PD}\cdot1=1,
откуда \frac{BP}{PD}=2
. Следовательно, D
— середина отрезка BP
.