14661. Дан равногранный тетраэдр PABC
(все грани — равные треугольники). Пусть A_{0}
, B_{0}
и C_{0}
— точки касания окружности, вписанной в треугольник ABC
со сторонами BC
, AC
и AB
соответственно; A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— точки касания вневписанных окружностей треугольников PCA
, PAB
и PBC
с продолжениями сторон PA
, PB
и PC
соответственно (за точки A
, B
, C
). Докажите, что прямые A_{0}A_{1}
, B_{0}B_{1}
и C_{0}C_{1}
пересекаются в одной точке.
Решение. Поскольку не существует плоскости, проходящей через все три указанные прямые (иначе, эта плоскость совпадала бы плоскостью ABC
, что невозможно), то достаточно будет доказать, что пересекаются любые две из этих прямых (см. задачу 8018).
Докажем, например, что прямые A_{0}A_{1}
и C_{0}C_{1}
пересекаются (аналогично для других пар прямых). Для этого достаточно доказать пересечение прямых A_{0}C_{1}
и C_{0}A_{1}
, т. е., например, что они пересекают ребро PB
в одной и той же точке.
Рассмотрим треугольники PAB
и PCB
и прямые A_{0}C_{1}
и C_{0}A_{1}
, пересекающие их общую сторону PB
в точках X
и Y
соответственно. Из условия следует, что BC_{0}=BA_{0}
. Кроме того, PA_{1}=PC_{1}=p
как полупериметры равных треугольников (см. задачу 1750), а так как противолежащие рёбра равногранного тетраэдра попарно равны (см. задачу 7266), то
AA_{1}=p-PA=p-BC=AC_{0}
(см. задачи 1750 и 219). Аналогично,
CC_{1}=p-PC=p-AB=CA_{0}.
Тогда, записав теорему Менелая для указанных треугольников и соответствующих прямых, получим
\frac{PA_{1}}{AA_{1}}\cdot\frac{AC_{0}}{BC_{0}}\cdot\frac{BX}{XP}=1,~\frac{PC_{1}}{CC_{1}}\cdot\frac{CA_{0}}{BA_{0}}\cdot\frac{BY}{YP}=1.
Учитывая доказанные ранее равенства отрезков, получим, что \frac{BX}{XP}=\frac{BY}{YP}
. Следовательно, точки X
и Y
совпадают. Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. Утверждение задачи аналогично свойству каркасного тетраэдра (тетраэдр, у которого равны суммы длин противолежащих рёбер). В таком тетраэдре окружности, вписанные в грани, касаются (см. задачу 7335); существует сфера, касающаяся всех рёбер (см. задачу 7337); прямые, соединяющие точки касания сферы с противоположными рёбрами, пересекаются в одной точке (см. задачу 7312).
В этой же задаче мы фактически доказали касание вневписанных окружностей граней со вписанной и между собой, а также существование сфер, касающихся трёх рёбер тетраэдра и трёх продолжений.
2. См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.