16395. В остроугольном треугольнике ABC
проведены медианы AA'
, BB'
и CC'
. Описанная окружность \Gamma
треугольника A'B'C'
вторично пересекает прямые AA'
, BB'
и CC'
в точках A''
, B''
и C''
соответственно. Докажите, что если
\overrightarrow{AA''}+\overrightarrow{BB''}+\overrightarrow{CC''}=\overrightarrow{0},
то треугольник ABC
равносторонний.
Решение. Поскольку A'
, B'
и C'
— середины сторон треугольника ABC
, окружность \Gamma
— это окружность девяти точек треугольника ABC
, поэтому на ней лежат основания высот этого треугольника (см. задачу 174), а так как треугольник остроугольный, то основания его высот лежат внутри него (см. задачу 127). Значит, точки A''
, B''
и CC''
тоже лежат внутри данного треугольника.
Пусть BC=a
, CA=b
, AB=c
, AA'=m_{a}
, BB'=m_{b}
, CC'=m_{c}
, \angle BAC=\alpha
, G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, AD
— его высота. Тогда
AC'=\frac{c}{2},~AD=b\cos\alpha=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2c},~m_{a}^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})=\frac{9}{4}AG^{2}.
(см. задачи 4253, 4014 и 1207).
По теореме о произведении всей секущей на её внешнюю часть (см. задачу 2636)
AD\cdot AC'=AA''\cdot AA',~\mbox{или}~\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2c}\cdot\frac{c}{2}=AA''\cdot m_{a},
откуда
AA''=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4m_{a}}.
Тогда
\overrightarrow{AA''}=\frac{AA''}{AG}\overrightarrow{AG}=\frac{\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4m_{a}}}{\frac{2}{3}m_{a}}\overrightarrow{AG}=\frac{3(b^{2}+c^{2}-a^{2})}{8m_{a}^{2}}\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AG}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{8m_{a}^{2}}\overrightarrow{AG}.
Аналогично,
\overrightarrow{BB''}=\overrightarrow{BG}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{8m_{b}^{2}}\overrightarrow{BG},~\overrightarrow{CC''}=\overrightarrow{CG}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{8m_{c}^{2}}\overrightarrow{CG}.
Учитывая, что
\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{0}
(см. задачу 4502) и
\overrightarrow{AA''}+\overrightarrow{BB''}+\overrightarrow{CC''}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AG}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BG}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG})=\overrightarrow{0},
получим
\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AA''}+\overrightarrow{BB''}+\overrightarrow{CC''}=
=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG})-\frac{1}{8}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\left(\frac{1}{m_{a}^{2}}\overrightarrow{AG}+\frac{1}{m_{b}^{2}}\overrightarrow{BG}+\frac{1}{m_{c}^{2}}\overrightarrow{CG}\right)=
=\overrightarrow{0}-\frac{1}{8}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\left(\frac{1}{m_{a}^{2}}\overrightarrow{AG}+\frac{1}{m_{b}^{2}}\overrightarrow{BG}+\frac{1}{m_{c}^{2}}\overrightarrow{CG}\right)=
=-\frac{1}{8}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\left(\frac{1}{m_{a}^{2}}(-\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{CG})+\frac{1}{m_{b}^{2}}\overrightarrow{BG}+\frac{1}{m_{c}^{2}}\overrightarrow{CG}\right)=
=-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{8}\left(\left(\frac{1}{m_{b}^{2}}-\frac{1}{m_{a}^{2}}\right)\overrightarrow{BG}+\left(\frac{1}{m_{c}^{2}}-\frac{1}{m_{a}^{2}}\right)\overrightarrow{CG}\right)
Поскольку \overrightarrow{BG}
и \overrightarrow{CG}
— неколлинеарные векторы, то в силу единственности разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, получаем
\frac{1}{m_{b}^{2}}-\frac{1}{m_{a}^{2}}=0~\mbox{и}~\frac{1}{m_{c}^{2}}-\frac{1}{m_{a}^{2}}=0,
откуда
m_{a}=m_{b}=m_{c}.
Следовательно, a=b=c
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Утверждение верно для любого треугольника (не обязательно остроугольного).
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2021, № 8, задача 4622, с. 398