10880. Пусть
AA_{1}
и
BB_{1}
— высоты неравнобедренного остроугольного треугольника
ABC
,
P
— вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников
ABC
и
A_{1}B_{1}C
. Касательные, проведённые к описанной окружности треугольника
ABC
в точках
A
и
B
, пересекают прямую
A_{1}B_{1}
в точках
X
и
Y
соответственно и пересекаются в точке
Z
. Докажите, что описанные окружности треугольников
ABC
и
XYZ
касаются в точке
P
.
Указание. См. задачи 6401, 4785, 700, 5000, 533, 10876, 3180 и 10879.
Решение. Точка
P
лежит на описанной окружности треугольника
ABC
, поэтому достаточно доказать, что
P
— центр гомотетии, переводящей эту окружность в описанную окружность треугольника
XYZ
(см. задачу 6401).
Пусть
CC_{1}
— третья высота треугольника
ABC
, а
H_{a}
,
H_{b}
и
H_{c}
— образы ортоцентра
H
треугольника
ABC
при симметриях относительно прямых
BC
,
AC
и
AB
соответственно. Точки
H_{a}
,
H_{b}
и
H_{c}
лежат на описанной окружности треугольника
ABC
(см. задачу 4785). Из теоремы о средней линии треугольника следует, что при гомотетии с центром
H
и коэффициентом
\frac{1}{2}
треугольник
H_{a}H_{b}H_{c}
переходит в треугольник
A_{1}B_{1}C_{1}
, который, в свою очередь, гомотетичен треугольнику
YXZ
, так как стороны этих треугольников соответственно параллельны (см. задачи 700 и 5000). Следовательно, треугольник
H_{a}H_{b}H_{c}
гомотетичен треугольнику
YXZ
.
При этой гомотетии, описанная окружность треугольника
H_{a}H_{b}H_{c}
(т. е. описанная окружность треугольника
ABC
) переходит в описанную окружность треугольника
YXZ
, а так как
H
и середина
M
стороны
AB
— центры вписанных окружностей треугольников
H_{a}H_{b}H_{c}
и
YXZ
соответственно (см. задачи 533 и 10876), то прямая
MH
проходит через центр гомотетии. В то же время, через центр этой гомотетии проходит и прямая
ZH_{c}
. Осталось заметить, что точки
M
,
H
и
P
лежат на одной прямой (см. задачу 3180) и точки
Z
,
H_{c}
и
P
лежат на одной прямой (см. задачу 10879). Следовательно, прямые
MH
и
ZH_{c}
пересекаются в точке
P
, т. е.
P
— центр рассматриваемой гомотетии. Что и требовалось доказать.

Примечание. См. статью Ю.Блинкова «Ортоцентр, середина стороны, точка пересечения касательных и ... ещё одна точка!», Квант, 2014, N1, с.43-46.