11269. На сторонах BC
, CA
, AB
треугольника ABC
взяты такие точки соответственно A'
, B'
, C'
, что прямые AA'
, BB'
, CC'
пересекаются в одной точке. Пусть D
, E
, F
, D'
, E'
, F'
— середины отрезков AB
, BC
, CA
, A'B'
, B'C'
, C'A'
соответственно. Докажите, что:
а) прямые DD'
, EE'
, FF'
имеют общую точку, причём эта точка, точка пересечения прямых AA'
, BB'
, CC'
и точка пересечения медиан треугольника ABC
лежат на одной прямой;
б) если в качестве прямых AA'
, BB'
, CC'
взяты высоты треугольника ABC
, то точка пересечения прямых DD'
, EE'
, FF'
совпадает с центром окружности Эйлера (окружности девяти точек) треугольника ABC
;
в) если прямые AA'
, BB'
, CC'
— биссектрисы треугольника ABC
, то их общая точка, общая точка прямых DD'
, EE'
, FF'
и точка пересечения прямых, проходящих через вершины треугольника ABC
и делящих его периметр пополам (точка Нагеля), лежат на одной прямой;
г) если прямые AA'
, BB'
, CC'
делят периметр треугольника ABC
пополам, то точка пересечения прямых DD'
, EE'
, FF'
совпадает с центром масс контура треугольника ABC
.
Решение. а) Точку пересечения прямых AA'
, BB'
, CC'
обозначим H
, середины отрезков AH
, BH
, CH
— соответственно K
, L
, M
(рис. 1). Применив теорему Гаусса к четырёхугольнику A'HB'C
(см. задачу 6149), получим, что точки D
, D'
, M
лежат на одной прямой. Аналогично, на одной прямой лежат точки E
, E'
, K
и F
, F'
, L
. Но отрезки DM
, EK
, FL
соединяют соответственно середины противолежащих сторон и середины диагоналей четырёхугольника ABCH
, поэтому эти отрезки имеют общую точку P
(центр масс системы точек A
, B
, C
, H
) и делятся ею пополам (см. задачу 1223).
Наконец, центр P
масс системы A
, B
, C
, H
лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения медиан треугольника ABC
с точкой H
, и делит этот отрезок в отношении 3:1
, считая от точки H
(см. примечание к задаче 7110).
б) Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Отрезки DA'
и DB'
— медианы прямоугольных треугольников AA'B
и BB'A
, проведённые из вершин прямых углов, поэтому треугольник A'DB'
равнобедренный (см. задачу 1109), а так как D'
середина отрезка A'B'
, то прямая DD'
— серединный перпендикуляр к стороне A'B'
треугольника A'B'C'
. Аналогично, прямые EE'
и FF'
— серединные перпендикуляры к остальным сторонам треугольника A'B'C'
, т. е. точка пересечения прямых DD'
, EE'
, FF'
— это центр окружности, описанной около треугольника A'B'C'
. Эта окружность и есть окружность девяти точек треугольника ABC
(см. задачу 174).
в) Центр окружности, вписанной в треугольник, совпадает с точкой Нагеля треугольника (см. задачу 4284), с вершинами в серединах сторон исходного треугольника (см. примечание к задаче 4550). Следовательно, если H
— центр вписанной в треугольник ABC
окружности, то H
— точка Нагеля треугольника DEF
. Но треугольник DEF
гомотетичен треугольнику ABC
с центром гомотетии в точке пересечения медиан обоих треугольников и коэффициентом гомотетии -\frac{1}{2}
, поэтому точки Нагеля обоих треугольников и точка пересечения их медиан лежат на одной прямой.
Ранее было доказано, что отрезок, соединяющий точку H
с точкой пересечения медиан треугольника ABC
, делится точкой пересечения прямых DD'
, EE'
, FF'
в отношении 3:1
считая от точки H
, так что эта же точка делит отрезок, соединяющий точку H
с точкой Нагеля треугольника ABC
, в отношении 1:3
, тоже считая от точки H
. Можно показать, что эта же точка делит пополам отрезок, соединяющий центр вписанной в треугольник ABC
окружности с центром масс контура треугольника ABC
.
г) Точки, делящие периметр треугольника пополам — это точке касания вневписанных окружностей со сторонами треугольника (см. задачу 1750), значит, в рассматриваемом случае H
— точка Нагеля треугольника ABC
. Центр масс контура треугольника совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника, вершинами которого служат середины сторон исходного треугольника(см. задачу 6792). Из этого и указанных выше соотношений следует нужное доказательство.
Ясно также, что центр масс контура треугольника делит пополам отрезок, соединяющий точку пересечения биссектрис треугольника и точку Нагеля.